MATEMATIKA - VEKTOR Diketahui a = 2i - 4j + 3k b = xi + zj + 4k c = 5i - 3j + 2k d = 2i + zj + xk Jika vektor a tegak lurus terhadap vektor d Tentukan vektor b

Vektor
Matematika XII

Diketahui vektor a dan d saling tegak lurus.

Syarat kedua vektor saling tegak lurus adalah a.b = 0 dan c.d = 0 (dot productnya nol)

⇔ a.b = 0
⇔ [2, -4, 3].[x, z, 4] = 0
⇔ 2x - 4z + 12 = 0
⇔ x = 2z - 6....[Persamaan-1]

⇔ c.d = 0 [5, -3, 2].[2, z, x] = 0
⇔ 10 - 3z + 2x = 0.....[Persamaan-2]

Substitusikan persamaan-1 ke persamaan-2

⇔ 10 - 3z + 2(2z - 6) = 0
⇔ z - 2 = 0
⇔ Diperoleh z = 2
Substitusikan nilai z ke persamaaan-1
⇔ x = 2(2) - 6
⇔ Diperoleh x = - 2

Sehingga vektor b = [- 2, 2, 4] dan vektor d = [2, 2, - 2]

Ditanyakan b + d
b + d = [- 2, 2, 4] + [2, 2, - 2]

Diperoleh vektor (b + d) yakni [0, 4, 2] atau 4j + 2k.

------------- Tambahan: Bukti bahwa a.b = 0 adalah [2, -4, 3].[- 2, 2, 4] ⇒ - 4 - 8 + 12 = 0 Bukti bahwa c.d = 0 adalah [5, -3, 2].[2, 2, - 2] ⇒ 10 - 6 - 4 = 0

ADA RALAT DARI YG NGAJUKAN SOAL ....

Diketahui
a = 2i - 4j + 3k
b = xi + zj + 4k
c = 5i - 3j + 2k
d = 2i + zj + xk

Langkah Pertama :
Jika Vektor a tegak lurus vektor b
Maka :
a.b = |a|.|b| cos 90°
a.b = 0
(2, -4, 3).(x, z, 4) = 0
(2.x) + (-4.z) + (3.4) = 0
2x - 4z + 12 = 0 ........Pers (1)

Langkah Kedua :
Jika Vektor c tegak lurus vektor d
Maka :
c.d = |c|.|d| cos 90°
c.d = 0
(5, -3, 2).(2, z, x) = 0
(5.2) + (-3.z) + (2.x) = 0
10 - 3z + 2x = 0 ........Pers (2)

Pers (1) dan (2) eliminasi :
(1) → 2x - 4z + 12 = 0
(2) → 2x - 3z + 10 = 0
-------------------------------- Selisih
      ⇒  - z + 2 = 0
      ⇒  z = 2

Kemudian masukkan ke Pers (1)
 
2x - 4z + 12 = 0
2x - 4.(2) + 12 = 0
2x - 8 + 12 = 0
2x = 8 - 12
2x = - 4
x = - 2

JADI VEKTOR
b = xi + zj + 4k
b = -2i + 2j + 4k

dan 

d = 2i + zj + xk
d = 2i + 2j - 2k


Jadi vektor jumlah, 
= b + d
= [-2i + 2j + 4k] + [2i + 2j - 2k]
= 4j + 2k